一道算错了的题目

一道算错了的题目
孔  娣   
（温州中学，浙江  温州  325000）

摘  要：古典概型极其概率是概率论的基础知识，它既是进一步学习概率的基础，又是学习过程中的难点。学习古典概型问题的困难之处就在于古典概型所涉及的具体问题往往是复杂多变的，计算样本空间中基本事件的总数与某一事件所包含的基本事件个数的方法没有固定的格式，而且容易把基本事件重复计算或者遗漏计算。本文试就一个典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。
关键词：古典概型；概率论；计算方法

   题目“现有一批长度为3，4，5，6和7的细木棒，它们数量足够多，从中适当取3根，组成不同的三角形，求其中直角三角形的概率。”
学生解法一(枚举法)：等边三角形（3，3，3），（4，4，4），（5，5，5），（6，6，6），（7，7，7）；等腰三角形（3，3，4），（3，3，5），（4，4，3），（4，4，5），（4，4，6），（4，4，7），（5，5，3），（5，5，4），（5，5，6），（5，5，7），（6，6，3），（6，6，4），（6，6，5），（6，6，7），（7，7，3），（7，7，4），（7，7，5），（7，7，6）；非等边非等腰三角形（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），（4，5，7），（5，6，7），（6，7，3），（6，7，4），（6，7，5），（7，3，5）。等边三角形5个，等腰三角形18个，非等边非等腰三角形9个，所以三角形个数共有5+18+9=32个。其中直角三角形只有（3，4，5）一个，所以直角三角形的概率 。
学生解法二（分类法排除法）：假设任意三根细木棒都能组成三角形，五种类型的细木棒中拿出一种组成等边三角形 个；五种类型的细木棒中拿出两种组成等腰三角形 个，五种类型的细木棒中拿出三种组成非等边非等腰三角形 个。三条线段组成三角形的充要条件是任意两边之和大于第三边，所以只要较小的两边之和大于最大的一边即可构成三角形。因此，若三条细木棒不能构成三角形，则较小的两边之和不于最大的一边，五种类型的细木棒中最小的是3，次之小的是4，所以不能构成三角形的边必有3，则 。因此，三条细木棒构成三角形的个数为 个。其中直角三角形只有（3，4，5）一个，所以直角三角形的概率 。
学生解法三（有序）：假设任意三根细木棒都能组成三角形，三角形三边有顺序，则第一条边有5种选择，第二条边有5种选择，第三条边有5种选择，总数为 个。不能构成三角形的有（3，3，6），（3，3，7），（3，4，7），两个局部排序一个全排列， 个，所以三角形个数有 个，一个直角三角形三边全排序有6个，则直角三角形的概率 个。
解法一二都可以，但解法三答案不同，问题产生在哪里呢？
古典概型具有两大特点：
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型计算样本空间中基本事件的总数与某一事件所包含的基本事件个数一般可分有序和无序两种角度计算，即分子分母若有顺序都有顺序若没顺序都没顺序。如果形三边有顺序，按解法一二算出的三角形个数计算了一下，5个等边三角形三边排序后还是5个，18个等腰三角形三边排序后是 个，9个边非等腰三角形三边排序后是 个，总数为5+54+54=113个。所以解法三中按照三边有顺序计算三角形个数为113个是正确的，分子是一个三边不等的三角形按照三边有顺序计算是6个，但答案却是错误的。古典概型一般可分有序和无序两种角度计算，即分子分母若有顺序都有顺序若没顺序都没顺序。这个题目按照有顺序计算为什么是错误的呢？原来三种类型的三角形有全排序有部分排序，地位不相当，是不能按照有序计算的。
概率是近代数学的重要分支，而古典概型又是概率的重要组成部分。它既与现实生活联系密切，又能考查学生应用数学知识分析问题、解决问题的能力。因此，新课程高考中古典概型的题目越来越被受到重视，其难度为中等或中等偏易，特点是立意新颖、设问巧妙、贴近生活。它已成为高考一个新的命题热点。所以深刻地掌握古典概型的特点和研究古典概型的解题策略显得尤为重要。