不等式法解题初探

不等式法解题初探

吴燕华

（赣州市大余县新城中学，江西  赣州  341501）

摘  要：利用不等式法求函数值域主要是指应用均值不等式或它的一些变形式求函数值域，它主要适用于和为定值或积为定值（或可转化为和或积为定值）的函数值域的求解，常用的公式及方法如下。

关键词：不等式；解题方法；函数值域

（1）

（2）使用基本不等式求最值时，要注意等式成立的条件及等号能否取到.

[典例精析]

例1 （陕西高考）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为（）.

解 只需求 的最小值大于或等于9即可，又 ，等号成立当且仅当 即可，所以 即 求得 或 （舍），所以 即 的最小值为4.

例2 （1）（江苏高考） 的最小值是（）.

（2）（上海高考）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则 ， 的取值分别是（）.

解（1）由 ，得 ，将其代入 ，得

当且仅当 时取“ ”.

（2）因为总体的中位数为10.5，所以 ，即 ，

所以总体平均数

总体的方差

因为 且 ，所以 ，

当且仅当 时 .

所以 时 .

例3 （1）（辽宁高考）设 ,则函数 的最小值为（）.

（2）（四川高考）已知等比数列 中 ，则其前三项的和 的取值范围（）.

解 （1）原式

.

当 ，即 时取等号.

（2）设等比数列的公比为 ，

[类题解法提示]

通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征，从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”.