如何确定不等式中的参数范围

 

如何确定不等式中的参数范围

肖常定

（兴义一中，贵州  黔西南  562400）  

    摘  要：确定不等式中的参数范围，是高中数学教学中的难点，也是高考的重点、热点。求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧。这类问题常常使学生在学习中感到束手无策，即使能解，过程也十分繁锁，或解而不全，针对这种情况，本文给出一些基本解法，加以探讨。

关键词：参数；不等式；主元；数形结合；单调性

一、分离参数法

分离参数法就是通过不等式的同解变形把参数分离出来，转化为形如 或

的形式，再求分离得到的函数 的最值，得参数 的范围，即 或 。这种方法是求参数范围的一种重要方法。

例1、       已知 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

    分析：分离参数 ，转化为利用基本不等式求最小值

解：由题意得，当 时，恒有 成立

设

则有

当且仅当 ，即 时，等号成立

的最小值是4

的取值范围是 ）

例2、设不等式 对任意正数 ， 恒成立，求 的取值范围。

解：由 知，

将不等式变形为 ，令 ，则

且 

，故 得取值范围是

二、变更主元法

变更主元法主要运用于转化变量与参数或常数的位置关系，以达到化繁为简的目的。此种解法可以说是一种逆向思维法。

例3、设对所有实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

解：视 为常量， 为变量，将原不等式变形为

即 （1）

（1）式可化为 （2）

时，            即

解得 ，故 得取值范围是

   说明：常规方法是根据关于 的不等式恒成立的条件，列出参数 所满足的不等式组，通过解不等式求 的范围。本题通过将 与 的位置互换，视 为参数， 为变量，则可使解题过程简捷多了。

三、数形结合法

    将不等式中的数量关系赋予几何意义，往往变得非常直观、简单。通过“数”与“形”的转换，可使不等式中的参数范围简捷明快地求出。

例4、不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围。

解：令 ， ，

在同一坐标系中作两个函数的图像如图所示，

当直线 与半圆 相切时，

圆心 到直线 的距离为1，

，解得 ，

的解集为空集，

四、利用函数的单调性求参数的范围

例5、设 ，当 时，都有 恒成立，求 的取值范围。

解：设 ，

则问题可转化为当 时， 恒成立。

（1）当 ，即 时，对一切 时，总有 成立。

（2） 当

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