教学案例：对数函数及其性质

教学案例：对数函数及其性质
王波凤
（南师附中江宁分校，江苏  南京  211102）

摘  要：学习基本初等函数对数函数，一方面可以加深对函数概念的理解，掌握研究函数的一般方法；另一方面，基本初等函数是常见的重要的函数模型，是研究其他函数的基础，与生活实践、科学研究有着密切的联系，有着广泛的应用．学生已经学习过函数概念，函数的单调性、奇偶性等性质，学习过指数函数的图象和性质，学习过对数的概念以及对数的运算．这些都构成了学生的认知基础．教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助他们形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力．两年前的今天我在师大本部借班上了《对数函数的第一课》，到现在仍然记忆犹新，现将整个教学过程和反思与大家分享，有不当之处请批评指正！
关键词：教学案例；对数函数；性质

一、问题情境，构建概念
数学教学应当从问题开始．首先提出
问题一 我们已经学习过指数函数y＝ax（a＞0，a≠1），又知道x＝logay（a＞0，a≠1），那么，在x＝logay（a＞0，a≠1）中，能否说x是y的函数呢？为什么？
生众：x是y的函数．
师：还有“为什么”呢？
生：对于任意一个y，都有唯一的实数x与y对应．
师：任意的一个y？
生：噢，y要是正数．
师：到底该怎么说？
生：对于任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应，所以，x是y的函数．这个函数的定义域是（0，+∞）．
师：你们认为对于“任意一个正数y，都有唯一的一个实数x与y对应”，我认为有两个x与y对应．你们怎么反驳我？
生：老师，指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在a＞1时是单调增的；在0＜a＜1时是单调减的，一个x只有一个y跟它对上．怎么会有两个呢？
师：很好，难不倒你们．前面我们学习过指数函数．在指数函数中，y是因变量，指数函数的值域是（0，+∞），在这里，y成了自变量，（0，+∞）成了定义域．（边说边利用几何画板画出指数函数的图象．）
师：习惯上，我们用x表示自变量，用y表示x的函数，写成
    y＝logax（a＞0，a≠1）．我们把这个函数叫做对数函数．
师：在实际生活中，大家见过或者听说过这样的函数吗？
生举例：如果我国GDP年平均增长率保持8%，约多少年后我国的GDP在2010年的基础上翻两番？即利用t＝log1.08N计算年数t是多少．
二、绘制图象，研究性质
师：今天我们结识了一个新朋友——对数函数，接下来自然就是要研究它的性质．提出
问题二 请你研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1），获得它的性质．越多越好．
留给学生充足的时间．
请四名学生板演．各自在自己的草稿本上画起来，写起来，有的还与同伴进行了交流．
待学生板演完毕，绝大多数学生都有了比较充分的思考之后组织交流．
问题三  你们是怎样研究对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）性质的？
有学生说，先画出对数函数的图象．
师：“你们是怎样画对数函数图象的？”
生：“列表、描点．”
教师肯定了他们的做法．这很自然，因为研究指数函数就是先列表、描点画出图象的．教师接着问“都是用列表、描点的方法画对数函数的图象的吗？”有学生举手说，还可以利用指数函数的图象来画对数函数的图象．
师：怎么画？
生：把指数函数的图象关于直线y＝x对称一下．
师：为什么？
生：点P（x，y）在指数函数的图象上，点P’（y，x）在对数函数的图象上？而点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称．
师：我们来看看是不是这样．
教师借助几何画板，在指数函数的图象上画点P，作出与点P关于直线y＝x对称的P’， 同时度量出点P与P’的坐标，跟踪点P’，拖动点P，显示点P与点P’的坐标，点P’的轨迹形成对数函数的图象．（图2）
事实说明，点P（x，y）与P’（y，x）关于直线y＝x对称，对数函数的图象与指数函数的图象关于直线y＝x对称．
师：我们来看黑板上几位同学写出的对数函数的性质，你们说哪位同学写得最好，需要有什么补充的吗？
同学们就内容是否丰富——是不是发现得最多？表达是否有条理——有没有编号？语言是否准确等几个方面进行了评价，并进行了补充．他们几乎发现了对数函数的所有性质，其中有一些并不是教学所要求的．在教师的引导下，把对数函数的性质与指数函数的性质进行比较，形成如下表格．
性质 对数函数
y＝logax（a＞0，a≠1） 指数函数
y＝ax（a＞0，a≠1）
定义域 （0，+∞） R
值域 R （0，+∞）
奇偶性 不是奇函数，也不是偶函数
单调性 在a＞1时单调增；在0＜a＜1时单调减
图象过特殊点 图象都经过点（1，0） 图象都经过点（0，1）
对称 y＝logax的图象与y＝log x的图象关于x轴对称 y＝ax的图象与y＝（1a）x的图象关于y轴对称
三、教学过程反思
整节课在师生的互动下不知不觉的结束了，虽然我们还没有进行对数性质的运用，但我觉得数学教学必须重视概念的教学．既然在x＝logay（a＞0，a≠1）中x是y的函数，那么一个新函数y＝logax（a＞0，a≠1）就诞生了．与“对数源于指数”一样，对数函数源于指数函数．这就是知识的“来龙”．对于一个新对象，紧接着就是如何研究？也就是如何研究这个新函数，感受研究函数的一般方法．经过同学们自己的研究获得了这个函数的各种性质，又是知识的“去脉”，让学生体验、感受知识的来龙去脉、发生发展过程、结构特征、内在联系．概念教学不能急功近利，简单化，由教师概括、抽象，告诉学生，然后进行大题量训练．应当让学生参与举例，参与概括，体验概念的本质，理解概念．那种“一个概念，三项注意”的做法是不可取的．