2013年安徽卷文科压轴题研究

2013年安徽卷文科压轴题研究
董同兵1  戚有建2
（1、高邮市第一中学，江苏  扬州 225600；2、扬州中学，江苏  扬州  225002）

摘  要：文章从2013年安徽卷文科21题第（2）问出发，先将结论推广为一般情形，再将结论类比到双曲线中进行研究。
关键词：唯一公共点；圆锥曲线；文科压轴题

一、考题展示
（2013年安徽卷文科21题）已知椭圆 的焦距为4，且过点 ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，问这样作出的直线 是否与椭圆 一定有唯一的公共点？并说明理由.
解析（1）由点 在椭圆上得  ①，
又  ②，  ③，联列①②③解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由题意得 ，设 ，则 ， ，
由 得 ，即 ，即 ，故 ，
故直线 的斜率 ，
又由点 在椭圆 上得  ④，
从而 ，
故直线 的方程为  ⑤，
将⑤代入椭圆 方程得 ，
再将④代入上式，化简得 ，解得 ，
所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.
点评 本题是2013年安徽卷文科最后一题，是压轴题，考查的是椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、直线和椭圆的位置关系等基本知识，考查待定系数法、坐标法等基本方法，考查数形结合、函数方程、转化化归等基本数学思想，同时考查运算能力、逻辑推理能力和综合运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力. 第（1）问学生很容易上手，用待定系数法来处理，第（2）问实际上是研究直线和椭圆的位置关系，可以用坐标法来处理，看起来很平常，实际上却丰富多彩，有一定难度和区分度，也有很大的研究空间，我们重点研究第（2）问.
二、一般化研究
如图2，设 为椭圆 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.
证明 由题意得 ，设 ，
则 ， ，
由 得 ，即 ，
即 ，故 ，
故直线 的斜率 ，
又由点 在椭圆 上得  ⑦，
从而  ⑥，
故直线 的方程为  ⑧，
将⑧代入椭圆 方程化简得 ，
再将⑦代入上式，化简得 ，解得 ，
所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.
说明 得到直线 的斜率（即⑥）后也可以这样来处理：又因为椭圆 在 处的切线方程 ，故切线斜率为 ，所以直线 即为椭圆 在 处的切线，所以直线 与椭圆 一定有唯一的公共点.
三、类比研究
如图3，设 为双曲线 上任一点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，取点 ，连接 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ，点 是点 关于 轴的对称点，作直线 ，则直线 与双曲线 一定有唯一的公共点.
证明过程略.