曲线的拟合
曲线的拟合
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
【文章摘要】
数据拟合在实际中应用非常广
泛，这里对曲线拟合做简单的介绍，
关于它的定义，及分类，和相应需要
运用哪些软件，以及在做拟合钱需
要做的线性回归做以简单的介绍。
【关键词】
拟
合 ；matlab ；excel ；origin ；spss
ASA
首先介绍拟合的定义 ：曲线拟合，俗
称拉曲线，它是一种把现有的数据透过数
学的方法而进行代入一条函数式的表示
方式。科学和工程问题大都可以通过例如
采样、实验等方法获得若干组离散数据，
根据这样一些数据，我们大都希望得到一
个连续函数或者更加比较密集的离散方
程与已知的互数据相吻合，这个过程就叫
做拟合。拟合的用途是非常广泛的。在这
里对于拟合做以简单的介绍。
数据拟合在这里是根据函数其类型
来分类的，当然，拟合的依据仍然是数据
本身。也就是说，需要数据符合什么样类
型的函数，才能用什么样的类型的函数进
行拟合。一般而言，根据数据点的分布形
状，大体可以将数据拟合分为两类 ：一类
是线形拟合，也就是说数据是按照 y = ax
+ b 呈现线形关系的，拟合得到结果也是
一条直线。这里还包括多元函数的线性拟
合。另一类是非线性拟合，这里指的是数
据点的分布不是直线，而是曲线，包括抛
物线形，双曲线形，指数形，对数形，三角
函数形，正态分布，泊松分布，玻尔兹曼
分布等等。
拟合还可以根据变量的数量分类，这
里的单变量是指拟合函数中的自变量只
有一个，比如 y = ax + b， y = A*exp(x) +
sin(Bx)，等等
而对于相对应的多变量就是指含有
多个自变量。
这里我们介绍一下简单的拟合常用
的函数
指数函数的标准式形式为 Y=a
(1) 对式（1）两边取对数，得 lnY=lna+bX
(2)
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；
b<0 时，Y 是随 X 增大而减少的。当用
lnY 与 X 绘制的散点图像呈直线的趋势
曲线的拟合
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
时，可以考虑采用指数函数用来描述 Y
与 X 间的一个非线性关系，截距和斜率
分别为 lna 和 b。更一般化的指数函数
Y=aebX+k (3) 式中 k 为一个常量，往往是
未知的 , 应用时可一试用不同的值。
对数函数的标准式形式为 Y=a+blnX
(X>0) (4)b>0 时，Y 随 X 的增大而增大，
变化是先快后慢 ；b<0 时，Y 随 X 的增
大而减少，变化是先快后慢，当以 Y 和
lnX 绘制的散点图像是呈直线趋势时，可
以考虑采用对数函数来描述 Y 与 X 之间
的一个非线性关系，式中的 b 和 a 分别为
斜率和截距。更一般的对数函数关系式为
Y=a+bln(X+k) (5) 式中 k 为一常量，往往
是未知的。
(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)
Y=a+blnX(d)Y=a-blnX
幂函数的标准式形式为
Y=aXb(a>0,X>0) (6) 曲线拟合式中
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；b<0 时，
Y 是随 X 增大而减少的。对式（6）两边取
对数，得到
lnY=lna+blnX(7) 所 以，当 以 lnY 和
lnX 绘制的散点图箱是呈直线的趋势时，
可以考虑采用幂函数来描述 Y 与 X 之间
的非线性的关系，截距和斜率分别为 lna
和 b。比较一般的幂函数为 Y=aXb+k (8)
曲线拟合的工具有 excel、matlab、
origin、spss 软件。它们都可以用来进行
数据的拟合。
Origin 是由 OriginLab 公司开发的一
个功能不同寻常的科学绘图、数据分析
软件，支持在 Microsoft Windows 下运行。
不足不能进行数据运算。Origin 中的曲
线拟合这里是采用的是基于 Levernberg-
Marquardt 算法非线性最小二乘法的拟
合。 Origin 具有强大的数据的导入功能，
支持多种格式的数据，其中包括 ASCII,
Excel, NI TDM, DIADem, NetCDF, SPC，
等等。Origin 优点图像处理强大，数据拟
合操作简单，不足不能进行数据运算。
而 SPSS 是统计产品与服务解决方
案的简称，为 IBM 公司推出的一系列用
于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析
和决策支持任务的软件产品及相关服务
的总称，有 Windows 和 Mac OS X 等版本。
SPSS 可以做数据管理统计建模，回归和
拟合。
MATLAB 是一种用于算法开发、数
据可视化、数据分析以及数值计算的高级
技术计算语言和交互式环境。MATLAB
可以做一元和多元线性拟合，一元多远非
线性拟合。优点势图像处理强大数据拟
合操作简单。ETLAB 优势是处理矩阵速
度快，编写程序简单方便，但是运算不如
origin 和 excel。
excel 大家都比较了解，优点做数据
运算方便，操作简单，不足图像处理差。
可以做多元和一元，线性和非线性函数拟
合。
SAS 可进行各种不同的模型或不同
的特点数据回归分析，如正交回归 / 面回
归、响应面回归、logistic 回归、非线性回
归等，且具有多种模型选择的方法。在方
差分析方面， SAS 为多种试验设计了模
型提供方差分析得到工具。而且，它还有
处理一般线性模型和广义线性模型的专
用过程。在多变量统计方面， SAS 为主的
成分分析、典型相关分析、因子分析和判
别分析提供了许多专用过程。但是如何应
用这些软件进行拟合由于篇幅有限这里
不做说明。
其实在做拟合之前，往往首先要做的
是回归分析，回归分析是一种统计学上分
析数据的方法，目的在于了解两个或多个
变量间是否相关、相关方向与强度，并建
立数学模型以便观察特定变量来预测研
究者感兴趣的变量。 回归分析是建立因
变量与自变量之间关系的模型。简单线性
回归使用一个自变量，复回归使用超过一
个自变量。在了解了数据与变量之间的关
系后，才能进行数据函数的一个估计，看
看重要影响数据的变量是什么。所以所做
的顺序是先做线性回归，在了解了相关的
函数最相关的变量后，在选择函数进行拟
合工作，在 spss 中还有曲线的估计，可以
选几个函数进行拟合，根据拟合的结果看
F 值和 R 值来确定哪种函数拟合的程度
比较好。
在拟合之后还要对拟合做出评价，就
是利用残差。什么是残差呢？残差是指观
测值与预测值（拟合值）之间的差，即是
实际观察值与回归估计值的差。残差图的
分布趋势可以帮助我们判明所拟合的线
性模型是否满足相关假设。如残差是否近
似正态分布，是否方差齐次，变量间是否
还有其它非线性关系以及是否还有重要
自变量还未进入模型等。. 当判明有某些
假设条件欠缺时， 进一步的问题就是要
加以校正或者补救。以上就是拟合的大致
的过程。拟合也是数学建模的重要工具
【作者简介】
付伟（1975）女，汉族，辽宁省沈阳市，
沈阳工学院、讲师、硕士、应用数学
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
【文章摘要】
数据拟合在实际中应用非常广
泛，这里对曲线拟合做简单的介绍，
关于它的定义，及分类，和相应需要
运用哪些软件，以及在做拟合钱需
要做的线性回归做以简单的介绍。
【关键词】
拟
合 ；matlab ；excel ；origin ；spss
ASA
首先介绍拟合的定义 ：曲线拟合，俗
称拉曲线，它是一种把现有的数据透过数
学的方法而进行代入一条函数式的表示
方式。科学和工程问题大都可以通过例如
采样、实验等方法获得若干组离散数据，
根据这样一些数据，我们大都希望得到一
个连续函数或者更加比较密集的离散方
程与已知的互数据相吻合，这个过程就叫
做拟合。拟合的用途是非常广泛的。在这
里对于拟合做以简单的介绍。
数据拟合在这里是根据函数其类型
来分类的，当然，拟合的依据仍然是数据
本身。也就是说，需要数据符合什么样类
型的函数，才能用什么样的类型的函数进
行拟合。一般而言，根据数据点的分布形
状，大体可以将数据拟合分为两类 ：一类
是线形拟合，也就是说数据是按照 y = ax
+ b 呈现线形关系的，拟合得到结果也是
一条直线。这里还包括多元函数的线性拟
合。另一类是非线性拟合，这里指的是数
据点的分布不是直线，而是曲线，包括抛
物线形，双曲线形，指数形，对数形，三角
函数形，正态分布，泊松分布，玻尔兹曼
分布等等。
拟合还可以根据变量的数量分类，这
里的单变量是指拟合函数中的自变量只
有一个，比如 y = ax + b， y = A*exp(x) +
sin(Bx)，等等
而对于相对应的多变量就是指含有
多个自变量。
这里我们介绍一下简单的拟合常用
的函数
指数函数的标准式形式为 Y=a
(1) 对式（1）两边取对数，得 lnY=lna+bX
(2)
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；
b<0 时，Y 是随 X 增大而减少的。当用
lnY 与 X 绘制的散点图像呈直线的趋势
曲线的拟合
付 伟 辽宁沈阳工学院 110010
时，可以考虑采用指数函数用来描述 Y
与 X 间的一个非线性关系，截距和斜率
分别为 lna 和 b。更一般化的指数函数
Y=aebX+k (3) 式中 k 为一个常量，往往是
未知的 , 应用时可一试用不同的值。
对数函数的标准式形式为 Y=a+blnX
(X>0) (4)b>0 时，Y 随 X 的增大而增大，
变化是先快后慢 ；b<0 时，Y 随 X 的增
大而减少，变化是先快后慢，当以 Y 和
lnX 绘制的散点图像是呈直线趋势时，可
以考虑采用对数函数来描述 Y 与 X 之间
的一个非线性关系，式中的 b 和 a 分别为
斜率和截距。更一般的对数函数关系式为
Y=a+bln(X+k) (5) 式中 k 为一常量，往往
是未知的。
(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)
Y=a+blnX(d)Y=a-blnX
幂函数的标准式形式为
Y=aXb(a>0,X>0) (6) 曲线拟合式中
b>0 时，Y 是随 X 增大而增大的 ；b<0 时，
Y 是随 X 增大而减少的。对式（6）两边取
对数，得到
lnY=lna+blnX(7) 所 以，当 以 lnY 和
lnX 绘制的散点图箱是呈直线的趋势时，
可以考虑采用幂函数来描述 Y 与 X 之间
的非线性的关系，截距和斜率分别为 lna
和 b。比较一般的幂函数为 Y=aXb+k (8)
曲线拟合的工具有 excel、matlab、
origin、spss 软件。它们都可以用来进行
数据的拟合。
Origin 是由 OriginLab 公司开发的一
个功能不同寻常的科学绘图、数据分析
软件，支持在 Microsoft Windows 下运行。
不足不能进行数据运算。Origin 中的曲
线拟合这里是采用的是基于 Levernberg-
Marquardt 算法非线性最小二乘法的拟
合。 Origin 具有强大的数据的导入功能，
支持多种格式的数据，其中包括 ASCII,
Excel, NI TDM, DIADem, NetCDF, SPC，
等等。Origin 优点图像处理强大，数据拟
合操作简单，不足不能进行数据运算。
而 SPSS 是统计产品与服务解决方
案的简称，为 IBM 公司推出的一系列用
于统计学分析运算、数据挖掘、预测分析
和决策支持任务的软件产品及相关服务
的总称，有 Windows 和 Mac OS X 等版本。
SPSS 可以做数据管理统计建模，回归和
拟合。
MATLAB 是一种用于算法开发、数
据可视化、数据分析以及数值计算的高级
技术计算语言和交互式环境。MATLAB
可以做一元和多元线性拟合，一元多远非
线性拟合。优点势图像处理强大数据拟
合操作简单。ETLAB 优势是处理矩阵速
度快，编写程序简单方便，但是运算不如
origin 和 excel。
excel 大家都比较了解，优点做数据
运算方便，操作简单，不足图像处理差。
可以做多元和一元，线性和非线性函数拟
合。
SAS 可进行各种不同的模型或不同
的特点数据回归分析，如正交回归 / 面回
归、响应面回归、logistic 回归、非线性回
归等，且具有多种模型选择的方法。在方
差分析方面， SAS 为多种试验设计了模
型提供方差分析得到工具。而且，它还有
处理一般线性模型和广义线性模型的专
用过程。在多变量统计方面， SAS 为主的
成分分析、典型相关分析、因子分析和判
别分析提供了许多专用过程。但是如何应
用这些软件进行拟合由于篇幅有限这里
不做说明。
其实在做拟合之前，往往首先要做的
是回归分析，回归分析是一种统计学上分
析数据的方法，目的在于了解两个或多个
变量间是否相关、相关方向与强度，并建
立数学模型以便观察特定变量来预测研
究者感兴趣的变量。 回归分析是建立因
变量与自变量之间关系的模型。简单线性
回归使用一个自变量，复回归使用超过一
个自变量。在了解了数据与变量之间的关
系后，才能进行数据函数的一个估计，看
看重要影响数据的变量是什么。所以所做
的顺序是先做线性回归，在了解了相关的
函数最相关的变量后，在选择函数进行拟
合工作，在 spss 中还有曲线的估计，可以
选几个函数进行拟合，根据拟合的结果看
F 值和 R 值来确定哪种函数拟合的程度
比较好。
在拟合之后还要对拟合做出评价，就
是利用残差。什么是残差呢？残差是指观
测值与预测值（拟合值）之间的差，即是
实际观察值与回归估计值的差。残差图的
分布趋势可以帮助我们判明所拟合的线
性模型是否满足相关假设。如残差是否近
似正态分布，是否方差齐次，变量间是否
还有其它非线性关系以及是否还有重要
自变量还未进入模型等。. 当判明有某些
假设条件欠缺时， 进一步的问题就是要
加以校正或者补救。以上就是拟合的大致
的过程。拟合也是数学建模的重要工具
【作者简介】
付伟（1975）女，汉族，辽宁省沈阳市，
沈阳工学院、讲师、硕士、应用数学
