抛物线另一种形成方式的探究

抛物线另一种形成方式的探究
袁亮
（重庆市复旦中学，重庆  400012）
摘  要：圆锥曲线为高中解析几何板块的重点内容，其中分别给出了椭圆、双曲线的两定点的第一定义，而后为了给出抛物线的定义引出了圆锥曲线的统一定义——第二定义。又在人教版A版教材《数学2-1选修》的例题及探究中给出了椭圆、双曲线的另一种形成方式——过两定点直线的斜率式。虽然抛物线也属于圆锥曲线，拥有了统一的定义，但从形成方式上看很“拘泥”，仅仅因为它只有一个焦点吗？所以接下来笔者就探求了抛物线从直线斜率角度的形成方式。
关键词：抛物线；形成方式；直线；斜率

一、椭圆、双曲线的两点斜率式
结论1 如图1，在平面内有两条动直线 、
分别过定点 、 其中 ，
若两直线的斜率之积是一个常数 且 ，
那么两直线的交点 所形成的轨迹，当 时为椭圆，
当 时为双曲线。
证明 设 ，由条件可得： ，
又由 ，则有：
化简得到：     (1)
从(1)式中可以看出当 时，(1)式表示的是椭圆，特别的当 时，此椭圆的焦点在 轴上，定点 、 为椭圆的短轴端点，当 时，此椭圆的焦点在 轴上，定点 、 为椭圆的长轴端点。当 时，(1)式表示的是焦点在 轴的双曲线，定点 、 为双曲线的顶点。
从结论1可以看出，椭圆、双曲线的形成可由两定点的斜率运算来得到，那么抛物线是否也能按照相似的方式来得到呢。
二、 抛物线的两点斜率式
结论2 如图1，在平面内有两条动直线 、 分别过定点 、 其中 ，若两直线的斜率之差为一个常数 ，那么两直线的交点 所形成的轨迹为抛物线。
证明 设 ，由条件可得： ，
因为只是顺序问题，不妨设
化简可得到：    (2)
从(2)式可以看出所表示的曲线为抛物线，而且当 时，开口向上；当 时，开口向下，而且定点 、 也在此抛物线上。
不光如此，结论2还可以作一个推广，条件中的定点 、 可以是关于 轴对称的两个点，即有如下结论。
结论3 在平面内有两条动直线 、 分别过定点 、 其中 ，若两直线的斜率之差为一个常数 ，那么两直线的交点 所形成的轨迹为抛物线。
证明 设 ，由条件可得： ，
依然不妨设
化简可得：    (3)
从(3)式可以看出所表示的曲线为抛物线，而且当 时，开口向上；当 时，开口向下，而且定点 、 也在此抛物线上。
三、总结
根据以上的讨论可以看出圆锥曲线都可以通过两条过定点直线的斜率去形成。圆锥曲线其中的内涵都非常丰富，在我们的生活中的应用也是非常广泛，所以还有很多内容可以作进一步的研究。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-1(A版)[M].北京:人民教育出版社,2007.