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欧阳型积分不等式与应用

热度0票  浏览100122次 时间:2013年11月16日 14:58

欧阳型积分不等式与应用
李  永
(沭阳高级中学,江苏  宿迁  223360)
摘  要:对欧阳不等式作进一步的推广,给出一个更广泛的Ou-Iang型非线性不等式,并利用所得结果讨论了一类方程解的有界性。
关键词:欧阳型;积分不等式;有界性
众所周知积分不等式在讨论微分方程解的有界性,稳定性和渐进性时候时起着重要的作用,正因为如此,关于积分不等式的研究很多。文献[1]给出了一个新颖的积分不等式,文献[2]又给出了欧阳不等式一系列的推广。同样文[3-6]进一步研究了欧阳不等式,给出了如下的结论。
引理 设 是严格递增的, 是递增的;且 若对于常数 ,有
                                   (1)
则不等式
                               (2)
对一切 成立,这样的t保证
 ,
其中                     
本文的主要目是获得更广泛的欧阳型非线性不等式,所得结果推广和改进了已有的部分结果。
定义 设 ,如果 单调不减且当 时,有 ,称 属于函数类 .
1 主要结果
定理1 设 为 上的实值非负连续函数, 是实值非负连续函数, 单调不减,并且当 时, : 单调不减且 次可乘。如果
          (1)
则有
 
其中             
对一切 成立,这样的 保证
 
其中 的定义同于引理。
证明 定义(1)式右端为 ,则 是单调不减的函数,且 。
          (2)
对任意正数 ,定义
                                        (3)
则(2)式变为
               (4)
因 且单调递增,上式两边同时除以 得
 
定义
                     (5)

                                             (6)

 
 
定义
                                     (7)
则                       
                                                                        (8)
且                         
有                         
对上式两边作0到 的积分可得
 
将上式带入(8)式,且作0到 的积分可得
 
由上式与(6)式可得
                                           (9)
利用 的性质,可得
                      (10)
由 的定义,对 微分得
                                            (11)
联合(10)和(11)式,可得    
则有               
对上式两边作0到 的积分,可得
                          (12)
联合(9)式和(12)式,可得
 
令 即得定理1的结论。
注1 如果 单调递增,则对(9)式就可以结合引理与文 中的推论1得出所需结论,在此不作证明。同时需要指出,如果 ,则定理包含了文[2]中的相关定理以及推论。
2 应用
考虑微分方程
                          (13)
其中  都是连续函数。在此我们假设
                                   (14)
其中
现对(13)式两边同时乘以 ,并作0到t的积分可得
 
由假设条件可得
        (15)
直接利用定理,化简可得
      
其中                

参考文献:
[1]欧阳亮.线性微分方程 解的有界性[J].数学进展,1957,(3):409-415.
[2]高庆龄,王建国.欧阳不等式的推广及应用[J].山东大学学报(理学版),2008,43(2):72-76
[3]温玉珍,曹丽霞,吕亚峰.Oyang型非线性积分不等式的推广[J].曲阜师范大学学报,2005,31(2):34-38
[4] 徐衍聪,夏国防.时滞积分不等式及应用[J].曲阜师范大学学报,2005,31(1):15-18
[5] Fozi M.DANNAN.Integral Inequalities of Gronwall-Beiiman-Bihair Type and Asymptotic Behavior of Certain Second
Order Nonlinear Differential Equations.JIURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS .1985,108:151-164
[6] Pachpatte B G.On Some new inequalities related to Certain inequalities in the theory
of differential equations[J] .J.Math.Anal .Appl,1995,189(1):128-144



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